第一章 随机事件和概率 lXz<jt@5
第一节 基本概念 )O7 Mfr
{ZfTUt)-P
1、排列组合初步 V@Po}
(1)排列组合公式 ((?^B
从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 C2`END;
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 p(x[zn+%Y
例1.1:方程 的解是 Z3#3xG5pl
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 e@Mm4&f[p
例1.2:有5个队伍参加了甲A联赛,两两之间进行循环赛两场,试问总共的场次是多少? %|,j'V$
aX
?ON
(2)加法原理(两种方法均能完成此事):m+n Bq$bxuhV
某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,第二种方法可由n种方法来完成,则这件事可由m+n 种方法来完成。 cCj}{=U
,e,fOL
(3)乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m×n zizrc.g/Yg
某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n 种方法来完成,则这件事可由m×n 种方法来完成。 %
mIq,
例1.3:从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会,要求与会成员中既有男同学又有女同学,有几种不同的选法? ^rxXAc[
例1.4:6张同排连号的电影票,分给3名男生和3名女生,如欲男女相间而坐,则不同的分法数为多少? O~xc>
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例1.5:用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里,每一区域涂上一种颜色,且相邻区域的颜色必须不同,则共有不同的涂法 7qh_URt@
A.120种 B.140种 C.160种 D.180种 ~^3B(feQ]
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(4)一些常见排列 7tt&/k?Q
① 特殊排列 lR-4"/1|y
相邻 n
~
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彼此隔开 &i!.6M2
顺序一定和不可分辨 fd)}I23Q'
例1.6:晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目,问:分别按以下要求各可排出几种不同的节目单? ;xj^*b
①3个舞蹈节目排在一起; $T*kpUXH}
②3个舞蹈节目彼此隔开; rN>f"/J
|
③3个舞蹈节目先后顺序一定。 kszYbz "
例1.7:4幅大小不同的画,要求两幅最大的排在一起,问有多少种排法? 61wGIN2,
例1.8:5辆车排成1排,1辆黄色,1辆蓝色,3辆红色,且3辆红车不可分辨,问有多少种排法? A).wjd(_,
;,IGO7R
② 重复排列和非重复排列(有序) &d~6MSk
例1.9:5封不同的信,有6个信箱可供投递,共有多少种投信的方法? 9RAN$\AKy
pG|DT ?
③ 对立事件 ^LnCxA&QH
例1.10:七人并坐,甲不坐首位,乙不坐末位,有几种不同的坐法? Wk$%0xZ7
例1.11:15人中取5人,有3个不能都取,有多少种取法? &{7%VsTB
例1.12:有4对人,组成一个3人小组,不能从任意一对中取2个,问有多少种可能性? b)`<J @&{
t/y0gr tm6
④ 顺序问题 *VL-b8'A<
例1.13:3白球,2黑球,先后取2球,放回,2白的种数?(有序) 7j@TW%FmV\
例1.14:3白球,2黑球,先后取2球,不放回,2白的种数?(有序) ="XxS|Mq3
例1.15:3白球,2黑球,任取2球,2白的种数?(无序) 1o.]"~0:
6rR}qV,+{
2、随机试验、随机事件及其运算 ZgzrA&6
(1)随机试验和随机事件 /dtFB5Z"w
如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。 '5{gWV`
例如:掷一枚硬币,出现正面及出现反面;掷一颗骰子,出现“1”点、“5”点和出现偶数点都是随机事件;电话接线员在上午9时到10时接到的电话呼唤次数(泊松分布);对某一目标发射一发炮弹,弹着点到目标的距离为0.1米、0.5米及1米到3米之间都是随机事件(正态分布)。 xe_c`%_
在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下性质: 'Z;R!@Dm
(1) 每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件; @mw1(J
(2) 任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。 g.z/%LpK
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用 来表示,例如 (离散)。基本事件的全体,称为试验的样本空间,用 表示。 r_Xk:
一个事件就是由 中的部分点(基本事件 )组成的集合。通常用大写字母A,B,C,…表示事件,它们是 的子集。 V}Oxz04
如果某个 是事件A的组成部分,即这个 在事件A中出现,记为 。如果在一次试验中所出现的 有 ,则称在这次试验中事件A发生。 A2htD!3
如果 不是事件A的组成部分,就记为 。在一次试验中,所出现的 有 ,则称此次试验A没有发生。 _%.atW7
为必然事件,Ø为不可能事件。 C/lpSe
`@eQL[Z9x
(2)事件的关系与运算 C~kw{g+|
①关系: c!6.D
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生): UXe @c@3
如果同时有 , ,则称事件A与事件B等价,或称A等于B:A=B。 B6|=kl2C
A、B中至少有一个发生的事件:A B,或者A+B。 |nv8&L8
属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与B的差,记为A-B,也可表示为A-AB或者 ,它表示A发生而B不发生的事件。 {:!*1L
A、B同时发生:A B,或者AB。A B=Ø,则表示A与B不可能同时发生,称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 _W&.{
7
-A称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为 。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 %m{h1UQQ+
②运算: ^Z;5e@S
结合率:A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C hfVJg7-
分配率:(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) w 8T#~Dc
德摩根率: , ])vM# f
~kF^0-JZY
例1.16:一口袋中装有五只乒乓球,其中三只是白色的,两只是红色的。现从袋中取球两次,每次一只,取出后不再放回。写出该试验的样本空间 。若 表示取到的两只球是白色的事件, 表示取到的两只球是红色的事件,试用 、 表示下列事件: &(irri_
(1)两只球是颜色相同的事件 , &Q 3!ty
(2)两只球是颜色不同的事件 , 7)<&,BWc
(3)两只球中至少有一只白球的事件 。 $FS
j^v]
例1.17:硬币有正反两面,连续抛三次,若Ai表示第i次正面朝上,用Ai表示下列事件: vr2t MD
(1)前两次正面朝上,第三次正面朝下的事件 , 'V } -0
(2)至少有一次正面朝上的事件 , Br;1kQ%e C
(3)前两次正面朝上的事件 。 !$Nh:(>:
3、概率的定义和性质 UG 9uNgzQ/
(1)概率的公理化定义 /_>S0
设 为样本空间, 为事件,对每一个事件 都有一个实数P(A),若满足下列三个条件: ;5dJ5_ }
1° 0≤P(A)≤1, PWmFY'=
2° P(Ω) =1 +>Y2luR1
3° 对于两两互不相容的事件 , ,…有 }eSaF@.
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